TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Vấn đề 13

NGUYÊN HÀM

A. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)


 0dx  C .

  k dx  kx  C .







 x dx  ln x  C .



x



x n 1
C.
n 1

1 (ax  b)n 1
C.
a n 1







 ax  b dx  a ln ax  b  C .



 (ax  b)

 sin x dx   cos x  C .



 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C .



 cosx dx  sin x  C .



 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C .



 sin





dx
1
  cot(ax  b)  C .
a
sin (ax  b )









dx
1
 tan(ax  b)  C .
cos (ax  b) a



 e dx  e



x
 a dx 

x n dx 

1

1
2

dx  

1
2

x

1
C.
x

dx   cot x  C .

1
dx  tan x  C .
cos2 x
x

x

(ax  b)n dx 

1

1

1

2

1
1
dx   
C.
a ax  b

1

1

2

2

1
dx  eax b  C .
a
1 a x 
C.
  a x  dx 
 ln a

C.



ax
C.
ln a

e

ax b

♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax  b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm





Câu 1.

Một số nguyên tắc tính cơ bản
PP
 khai triễn.
Tích của đa thức hoặc lũy thừa 
PP
 khai triển theo công thức mũ.
Tích các hàm mũ 
1 1
1 1
2
2
Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin a   cos2a, cos a   cos2a.
2 2
2 2
PP
 chuyển về lũy thừa.
Chứa tích các căn thức của x 
Họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos x  6 x là
A. sin x  3 x 2  C .

Câu 2.

D.  sin x  C .

B. 2x2  C .

C. 2 x 2  6 x  C .

D. x 2  C .

B. x 2  4 x  C .

C. x 2  C .

D. 2x 2  C .

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  x là
A. e x  x 2  C .

Câu 5.

C. sin x  6 x 2  C .

Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  4 là
A. 2 x 2  4 x  C .

Câu 4.

B.  sin x  3 x 2  C .

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  6 là
A. x2  6 x  C .

Câu 3.

1

a

1
B. e x  x 2  C .
2

C.

1 x 1 2
e  x  C . D. e x  1  C .
x 1
2

4
2
Nguyên hàm của hàm số f  x  x  x là

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A. 4 x 3  2 x  C
Câu 6.

B.

B.

1 4 1 3
x  x C .
4
3

C. 3 x 2  2 x  C .

D. x 3  x 2  C .

sin 3 x
C
3
sin 3 x
D.  cos 3 xdx  
C
3

B.  cos 3 xdx 

C.  cos 3 xdx  sin 3 x  C
Họ nguyên hàm của hàm số f  x  
A. ln x  cos x  C .
Câu 9.

D. x 5  x 3  C .

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 3 x
A.  cos 3 xdx  3 sin 3 x  C

Câu 8.

C. x 4  x 2  C

Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x 2 là
A. x 4  x 3  C .

Câu 7.

1 5 1 3
x  x C
5
3

B. 

1
 sin x là
x

1
 cos x  C .
x2

C. ln x  cos x  C .

D. ln x  cos x  C .

Cho biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Tìm I    2 f  x   1dx.
A. I  2 xF  x   x  C . B. I  2 xF  x   1  C . C. I  2 F  x   1  C . D. I  2 F  x   x  C .

Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f  x   e x  1 là
A. e x  x  C .

B. e x  x  C .

C. e x  x  C .

D. e x  x  C .

Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1.

2

A.

 f  x  dx  3  2 x  1

C.

 f  x  dx   3

1

2 x  1  C.

2 x  1  C.

1

B.

 f  x  dx  3  2 x  1

D.

 f  x  dx  2

1

2 x  1  C.

2 x  1  C.

Câu 12. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin x  e x  5 x ?
A. F  x    cos x  e x 

5 2
x 1 .
2

B. F  x   cos x  e x  5 x  3 .

5
ex
5
C. F  x   cos x  e x  x 2 .
D. F  x    cos x 
 x2 .
2
x 1 2
1
Câu 13. Cho  f  x  dx   ln x  C ( với C là hằng số tùy ý ), trên miền  0;   , chọn khẳng định đúng
x
về hàm số f  x  .

C. f  x    x 

x 1
.
x2
1
D. f  x    2  ln x .
x
B. f  x  

A. f  x   x  ln x .

1
 ln x .
x

1
trên khoảng  0;    là
x
1
B. 1  ln x  C.
C. x 2  2  C.
x

Câu 14. Nguyên hàm của hàm số f  x   x 
A. 1 

1
 C.
x2

D.

Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e 2 x
A.  e 2 x dx  2e 2 x  C .

B.  e2 x dx  e2 x  C .

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

x2
 ln x  C.
2

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

e 2 x 1
C.  e 2 x dx 
C .
2x  1
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f  x  
A. 

x
C.
2

B.

1 2x
e C.
2

D.  e2 x dx 
1



x x

2
C .
x

C. 

2
C .
x

D.

x
C .
2

Câu 17. Cho hàm số y  f ( x) thỏa mãn f (0)  1 , f '( x)  2 x  sin x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f ( x)  x 2  cos x.

B. f ( x)  x 2  cos x  2.

C. f ( x)  x 2  cos x.

D. f ( x)  x 2  cos x  1.

Câu 18. Tìm họ nguyên hàm F  x   
A. F  x  
C. F  x  

1
4  2 x  1

 2 x  1

3

dx .

2

C .

B. F  x  

3

C .

D. F  x  

1
4  2 x  1

1

1
6  2 x  1

2

C

3

C .

1
6  2 x  1

Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos3 x là

sin 3 x
sin 3 x
 C . C. x 
C .
3
3

ex 
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e  x  2 
.
cos 2 x 

A.

cos 4 x
C.
4

B. sin x 

D.  sin x 

sin 3 x
C .
3

2
 tan x  C .
B. F  x   2 e x  tan x  C .
x
e
2
C. F  x    x  tan x  C .
D. F  x   2 e x  tan x  C .
e
Câu 21. Xác định họ nguyên hàm F  x  của hàm số f  x    x  1 e x  2 x 3
A. F  x   

2

A. F  x  

ex

2

 2 x 3

C

2

C. F  x   2e

x2  2 x 3

ex

2

 2 x 3

C
,C  R .
x 1
2
D. F  x   e x  2 x 3  C , C  R .

B. F  x  

,C  R .

 C, C  R .

Câu 22. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x cos 2 x là
A.

1
1
x  sin 4x  C .
4 16

B.

109

Câu 23. Cho F  x     2 x  1

1
1
x  sin 4x .
8 32

C.

1
1
1
1
x  sin 4 x  C . D. x  sin 4x  C .
8
8
8 32

dx , mệnh đề nào dưới đây đúng?

108

A. F  x 

 2 x  1

108

110

 2 x  1


 C.

B. F  x 

 C.

D. F  x  

108

C. F  x  

 2 x  1
216

110

Câu 24. Tìm các hàm số f ( x) biết f ' ( x ) 
A. f ( x) 

 C.

110

sin x
C .
(2  sin x) 2

 2 x  1
220

 C.

cos x
.
(2  sin x) 2

B. f ( x) 

1
C .
(2  cos x)

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

C. f ( x)  

1
C .
2  sin x

D. f ( x) 

Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số y   2 x  1
A.

 2 x  1

2018

2018

C.

B.

 2 x  1

2019



2020

C .

4040

sin x
C .
2  sin x

C.

 2 x  1

2020

2020

C .

D.

 2 x  1

A. y  2 x  ln sin x  2 cos x .

3sin x  cos x
sin x  2 cos x
B. y  x  ln sin x  2 cos x .

C. y  x  ln sin x  2 cos x .

D. y  ln sin x  2cos x .

2018

4036

C .

Câu 26. Hàm nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f  x  

B. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
1. Công thức thường áp dụng
1
1
 
dx  ln ax  b  C . 
ax  b
a

1

 (ax  b)

 ln a  ln b  ln(ab).  ln a  ln b  ln

2

1
1
dx   
C.
a ax  b

a

b

 ln a n  n ln a.  ln1  0.
2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I 

P (x )

 Q(x ) dx .

PP
 Chia đa thức.
 Nếu bậc của tử số P(x )  bậc của mẫu số Q(x ) 
PP
 Nếu bậc của tử số P(x )  bậc của mẫu số Q(x ) 
 phân tích mẫu Q(x ) thành tích số, rồi sử dụng

phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.
PP
 Nếu mẫu không phân tích được thành tích số 
 thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng
cách đặt X  a tan t, nếu mẫu đưa được về dạng X 2  a 2 .

x2
trên khoảng 1;   là
x 1
3
3
 C.
 C.
B. x  3ln  x  1  C. C. x 
D. x 
2
2
 x  1
 x  1

Câu 27. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) 
A. x  3ln  x  1  C.

Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

dx

A.

 5x  2  5 ln 5x  2  C

C.

 5x  2  ln 5x  2  C

dx

1
.
5x  2
dx

1

B.

 5x  2  5 ln 5x  2  C

D.

 5x  2   2 ln 5x  2  C

dx

1

1
1

trên khoảng  ;  là:
3x  1
3

1
1
A. ln(3x  1)  C
B. ln(1  3x)  C
C. ln(1  3x)  C
D. ln(3x  1)  C
3
3
2x 1
Câu 30. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x  
trên khoảng  2;    là
2
 x  2
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 

1
C .
x2
3
C .
C. 2ln  x  2  
x2
A. 2ln  x  2  

1
C .
x2
3
C .
D. 2ln  x  2  
x2
B. 2ln  x  2  

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

3x  1
Câu 31. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) 
trên khoảng (1; ) là
( x  1) 2
2
1
c.
 c.
A. 3ln( x  1) 
B. 3ln( x  1) 
x 1
x 1
1
2
c.
c.
C. 3ln( x  1) 
D. 3ln( x  1) 
x 1
x 1
3x  2
Câu 32. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x  
trên khoảng  2;  là
2
 x  2
A. 3ln  x  2  

4
C .
x2
2
C. 3ln  x  2  
C
x2

B. 3ln  x  2  

2
C
x2
4
D. 3ln  x  2  
C
x2
2x 1
1;    là
Câu 33. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x  
2 trên khoảng 
 x  1

2
C.
x 1
2
C. 2 ln  x  1 
C .
x 1

B. 2 ln  x  1 

3
C.
x 1
3
D. 2 ln  x  1 
C .
x 1

A. 2 ln  x  1 

1
1

trên  ;  .
1  2x
2

1
B. ln 2 x  1  C .
C. ln 2 x  1  C .
2

Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
A.

1
ln 1  2 x   C .
2

Câu 35. Cho biết

1
D.  ln 2 x  1  C .
2

2 x  13

 ( x  1)( x  2) dx  a ln x  1  b ln x  2  C . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a  2b  8 .

B. a  b  8 .
1

Câu 36. Tích phân I  
0

thức a  b  c ?
A. 3 .

 x  1

C. 2a  b  8 .

D. a  b  8 .

2

x2  1

dx  a ln b  c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu

B. 0 .

C. 1.

D. 2 .

3
a
x 1
a
là phân số tối giản .
dx  ln
 C , với b là số thực dương và
x  4x  3
b x3
b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  2b  8 .
B. a  b  8 .
C. 2a  b  8 .
D. a  b  8 .

Câu 37. Cho biết 

Câu 38. Cho biết 

2

4x 1
b
 3

dx  ax  ln  2 x  3   C , với mọi x    ;    . Mệnh đề nào sau đây
2x  3
2
 2


đúng?
A. 2a  b  1 .
Câu 39. Biết

B. 2 a  b  3 .

F  x    ax 2  bx  c  2 x  3

C. 2a  b  9 .

 a, b, c  



một

D. 2 a  b  7 .
nguyên

hàm

của

hàm

số

20 x 2  30 x  11
3

trên khoảng  ;   . Tính T  a  b  c .
2x  3
2

A. T  8 .
B. T  5 .
C. T  6 .
D. T  7 .
C. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
du  f ( x)dx
u  f ( x)
1) Công thức nguyên hàm từng phần 

dv  g ( x)dx v   g ( x)dx  G ( x) (C  0)
f  x 

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Khi đó ta có  u.dv u.v   v.du hay

 f ( x) g ( x)dx  f ( x)G ( x)   G ( x) f ( x)dx

du  f ( x)dx
u  f ( x)
2) Công thức tích phân từng phần 

dv  g ( x)dx v   g ( x)dx  G ( x) (C  0)
b

b

b

Khi đó ta có  u.dv   u.v    v.du hay
a

a

a

b


a

b

b

f ( x) g ( x)dx   f ( x)G ( x)    G ( x) f ( x)dx
a

a

3) Công thức đạo hàm của hàm số sơ cấp và hàm hợp.
  x    x 1 .   u n   nu n 1u  .   uv   u v  uv .
  sin u   u  cos u .   cos u   u  sin u .   e x   e x
1
  eu   eu u    ln x  
x
Hàm số F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  nếu F   x   f  x  .

  u  x  .v  x  dx  u  x  .v  x    v  x  .u  x  dx .   x dx 

x 1
 C , với   1 .
 1

1
  dx  ln x  C   e x dx  e x  C   sin xdx   cos x  C
x
  cos xdx  sin x  C

Câu 40. Cho hàm số f  x  liên tục trên  . Biết cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e x , họ tất cả
các nguyên hàm của hàm số f   x  e x là:
A.  sin 2 x  cos 2 x  C .
B.  2 sin 2 x  cos 2 x  C .
C.  2 sin 2 x  cos 2 x  C .
D. 2 sin 2 x  cos 2 x  C .
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   4 x 1  ln x  là
A. 2 x 2 ln x  3x 2 .
B. 2 x 2 ln x  x 2 .
C. 2 x 2 ln x  3x 2  C . D. 2 x 2 ln x  x 2  C .
f  x
1
Câu 42. Cho F  x   2 là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số f   x  ln x .
2x
x
ln x 1
1 
 ln x
A.  f   x  ln xdx    2  2   C
B.  f   x  ln xdx  2  2  C
x
x
2x 
 x
ln x
1
 ln x 1 
C.  f   x  ln xdx    2  2   C
D.  f   x  ln xdx  2  2  C
x
2x
x 
 x
4
x
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  xe là
1 5
1
x   x  1 e x  C . B. x 5  xe x  C .
5
5
Câu 44. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  xe2 x ?
1
1

A. F ( x )  e 2 x  x    C .
2
2


A.

C.

1 5
x   x  1 e x  C . D. 4 x3   x  1 e x  C .
5

1
B. F ( x)  e 2 x  x  2   C .
2
1

C. F ( x)  2e2 x  x  2   C.
D. F ( x )  2e 2 x  x    C .
2

Câu 45. Biết  x cos 2 xdx  ax sin 2 x  b cos 2 x  C với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ?
1
1
1
A. ab  .
B. ab   .
C. ab   .
8
4
8
Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x 1  sin x  là

A.

x2
 x sin x  cos x  C .
2

B.

D. ab 

x2
 x cos x  sin x  C .
2

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

1
.
4

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

x2
 x cos x  sin x  C .
C.
2

x2
 x sin x  cos x  C .
D.
2

Câu 47. Tìm nguyên hàm J   ( x  1)e3 x dx .

1
1
A. J  ( x  1)e3 x  e3 x  C .
3
3
1
1
C. J  ( x  1)e3 x  e3 x  C .
3
9

1
1
B. J  ( x  1)e3 x  e3 x  C .
3
9
1
D. J  ( x  1)e3 x  e3 x  C .
3

Câu 48. Kết quả tính  2 x ln  x  1dx bằng:
A.  x 2  1 ln  x  1 
C. x 2 ln  x  1 

x2
 x  c.
2

x2
 x  c.
2
x2
D.  x 2  1 ln  x  1   x  c.
2
B.  x 2  1 ln  x  1 

x2
 x  c.
2

Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   x  e x  sin x  là
A.  x  1 e x  x cos x  sin x  C .

B.  x  1 e x  x cos x  sin x  C .

C.  x  1 e x  x cos x  sin x  C .

D.  x  1 e x  x cos x  sin x  C .

Câu 50. Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm số f  x  

ln 2x
?
x2

1
1
B. F  x     ln 2 x  1 .
 ln 2 x  1 .
x
x
1
1
C. F  x    1  ln 2 x  .
D. F  x    ln 2 x  1 .
x
x
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  3 ln x là
A. F  x   

x2
 3x  C .


2
x2
C.  x 2  3 x  ln x   3x  C .
2
A. x 2  3 x ln x 

Câu 52. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x  
A.  x cot x  ln  sinx   C .
C. x cot x  ln s inx  C .

x2
 3x  C .


2
x2
D.  x 2  3 x  ln x   3 x  C .
2
B. x 2  3x ln x 

x
trên khoảng  0;   là
sin 2 x
B. x cot x  ln s inx  C .
D.  x cot x  ln  s inx   C .

D. NGUYÊN HÀM CÓ ĐIỀU KIỆN
Câu 53. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f '  x   3  5 sin x và f  0   10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f  x   3 x  5 cos x  5

B. f  x   3 x  5 cos x  2

C. f  x   3 x  5 cos x  15

D. f  x   3 x  5 cos x  2

Câu 54. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  e x  2 x thỏa mãn F  0  

3
. Tìm F  x  .
2

1
5
3
1
B. F  x   e x  x 2 
C. F  x   e x  x 2 
D. F  x   e x  x 2 
2
2
2
2
1
Câu 55. Biết F  x  là một nguyên hàm của f  x  
và F  2   1 . Tính F  3 .
x 1
1
7
A. F  3  ln 2  1
B. F  3  ln 2  1
C. F  3 
D. F  3 
2
4
A. F  x   2e x  x 2 

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 
Câu 56. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   sin x  cos x thoả mãn F    2
2
A. F  x   cos x  sin x  3
B. F  x    cos x  sin x  3

C. F  x    cos x  sin x  1

D. F  x    cos x  sin x  1

Câu 57. Cho F  x    x  1 e x là một nguyên hàm của hàm số f  x  e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số
f   x  e 2x .

 f  x e
C.  f   x  e
A.

Câu 58.

2x

dx   x  2  e x  C

2x

dx   2  x  e x  C

 f   x e
D.  f   x  e
B.

2x x
e C
2
2x
dx   4  2 x  e x  C

2x

dx 

F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x    2 x  1 e 2 x thỏa F  0   0 . Tính F 1

A. F 1  2e 2 .

B. F 1 

e2
.
2

C. F 1  e 2 .

D. F 1 

3e 2
.
2

Câu 59. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f ( x)  e - x  sin x thỏa mãn F  0   0 . Tìm F  x  .
A. F ( x)=  e- x  cos x  2 .
C. F ( x)  e- x  cos x - 2 .

B. F ( x)   e- x  cos x .
D. F ( x)   e- x - cos x  2 .

Câu 60. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x) 
A. ln 8  1.
Câu 61. Biết

dx

B. 4 ln 2  1 .
x

 1  cos x  a tan b  C

A. – 5.

2
. Biết F  1  0 . Tính F  2  kết quả là.
x2
C. 2 ln 3  2 .
D. 2 ln 4 .

với a , b là các số nguyên dương. Tính S  a  2b ?

B. – 2.

C. 0.

D. – 3.

a
1  ln x
 ln x  b là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 , trong đó a, b  . Giá trị
x
x
S  b  2a bằng
A. 6 .
B. 0 .
C. 4 .
D. 2 .
f
x
  . Tìm nguyên hàm của hàm số
1
Câu 63. Cho F  x    3 là một nguyên hàm của hàm số
x
3x
Câu 62. Cho F  x  

f   x  ln x

ln x
1
ln x
1
 5 C
B.  f   x  ln xdx   3  3  C
3
x
5x
x
3x
ln x
1
ln x
1
C.  f   x  ln xdx  3  3  C
D.  f   x  ln xdx  3  5  C
x
3x
x
5x
2x
Câu 64. Cho hàm số f  x  có đạo hàm và liên tục trên  và f   x   2e  1  x , f  0   2 . Hàm f  x 

A. y  2e x  2 x .
B. y  2e x  2 .
C. y  e2 x  x  2 .
D. y  e2 x  x  1 .
x
  
Câu 65. Cho f  x  
trên   ;  và F  x  là một nguyên hàm của x. f '  x  thỏa mãn
2
cos x
 2 2
 
F  0   0 . Tính F   ?
3
2

 3
4 2  3
4 2  3
2  3

 ln 2 .

 ln 2 . C.

 ln 2 . D.

 ln 2 .
A.
B.
36
3
9
3
9
3
36
3
A.

 f   x  ln xdx 

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

1

Câu 66. Cho a là số thực khác 0 , F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  ln  ax    thỏa mãn
x

1
F    0 và F  2018  e2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
a
 1

1 

;1 .
A. a   2018;    .
B. a  
C. a   0;
D. a  1; 2018 .
.
 2018 
 2018 
1
Câu 67. Biết   x  3 e2 x dx   e2 x  2 x  n   C ,  m, n    . Giá trị của m 2  n 2 bằng
m
A. 10 .
B. 65 .
C. 5 .
D. 41 .
2x  1
Câu 68. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f  x   4
trên khoảng  0;  thỏa mãn
x  2 x3  x 2
1
F 1  . Giá trị của biểu thức S  F 1  F  2   F  3    F  2019  bằng
2
2019
2019.2021
1
2019
A.
.
B.
.
C. 2018
.
D. 
.
2020
2020
2020
2020
Câu 69. Cho f  x  và g  x  là hai hàm số liên tục và có một nguyên hàm lần lượt là F  x   x  2019 ,

G  x   x 2  2020 . Tìm một nguyên hàm H  x  của hàm số h  x   f  x  .g  x  , biết H 1  3 .
A. H  x   x3  3 .

B. H  x   x 2  5 .

C. H  x   x3  1 .

D. H  x   x 2  2 .

Câu 70. Giả sử F  x    ax 2  bx  c  e x là một nguyên hàm của hàm số f  x   x 2e x . Tính tích P  abc .
A. P  4 .

B. P  1 .

D. P  3 .
1
Câu 71. Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x , thỏa mãn F  0  
. Tính giá trị biểu
ln 2
thức T  F  0   F 1  F  2   ...  F  2019  .
A. T 

22020  1
.
ln 2

B. T  1009.

C. P  5 .

22019  1
. C. T  22019.2020 .
2

Câu 72. Cho hàm số f  x  xác định trên R \ 1;1 thỏa mãn f '  x  

D. T 

2 2019  1
.
ln 2

1
. Biết f  3  f  3  4 và
x 1
2

1
 1 
f    f    2 . Giá trị của biểu thức f  5   f  0   f  2  bằng
3
 3 
1
1
1
1
A. 5  ln 2 .
B. 6  ln 2 .
C. 5  ln 2 .
D. 6  ln 2 .
2
2
2
2
E. NGUYÊN HÀM HÀM ẨN
2
1
Câu 73. Cho hàm số f  x thỏa mãn f  2   
và f   x   4 x 3  f  x   với mọi x  . Giá trị của
25

f 1 bằng
A. 

41
400

B. 

1
10

C. 

391
400

D. 

1
40

Câu 74. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  x   f   x   e  x , x   và f  0   2 . Tất cả các nguyên hàm
của f  x  e2 x là
A.  x  2  e x  e x  C .
Câu 75. Cho hàm số

 f   x 

2

B.  x  2  e2 x  e x  C . C.  x  1 e x  C .

y  f  x

D.  x  1 e x  C .

đồng biến và có đạo hàm liên tục trên



thỏa mãn

 f  x  .e x , x   và f  0   2 . Khi đó f  2  thuộc khoảng nào sau đây?

A. 12;13  .

B.  9;10  .

C. 11;12  .

D. 13;14  .

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 76. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  x   0, x  0 và có đạo hàm f   x  liên tục trên khoảng

 0;   

thỏa mãn

f   x    2 x  1 f 2  x  , x  0 và

f 1  f  2   ...  f  2020  bằng
2020
2015
A. 
.
B. 
.
2021
2019

C. 

Câu 77. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f  2   

1
f 1   . Giá trị của biểu thức
2

2019
.
2020

D. 

2016
.
2021

4
và f   x   x3 f 2  x  x   . Giá trị của f 1
19

bằng

2
1
3
A.  .
B.  .
C. 1.
D.  .
3
2
4

\

1;0
Câu 78. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên
  thỏa mãn điều kiện: f 1  2 ln 2 và





x.  x  1 . f   x   f  x   x 2  x . Biết f  2   a  b.ln 3 ( a , b  ). Giá trị 2 a 2  b2 là
27
3
9
.
B. 9 .
C. .
D. .
4
4
2
Câu 79. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; ) , biết f   x    2 x  1 f 2  x   0 ,
A.

1
. Tính giá trị của P  f 1  f  2   ...  f  2019  .
6
2019
2018
2021
B. P 
.
C. P 
.
D. P 
.
2020
2019
2020
liên tục trên  \ 1;0 thỏa mãn điều kiện: f 1  2ln 2 và

f  x   0 , f   x   0 x  0 , f  2  

2020
.
2019
Câu 80. Cho hàm số
A. P 

f  x

x.  x  1 . f   x   f  x   x 2  x 1 . Biết f  2   a  b.ln 3  a, b   . Giá trị của 2  a 2  b2  là:
27
3
.
B. 9 .
C. .
4
4
2
Câu 81. Cho  f (4 x ) dx  x  3 x  c . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

A.
C.




x2
 2x  C .
4
x2
f ( x  2) dx   4 x  C .
4
f ( x  2) dx 

Câu 82. Cho hàm số f  x  thỏa mãn f  2   

D.

B.

 f ( x  2) dx  x

D.

f ( x  2) dx 



2

9
.
2

 7x  C .

x2
 4x  C .
2

2
2
và f   x   2 x  f  x   với mọi x   . Giá trị của f 1
9

bằng
19
2
.
D.  .
36
15
x
 
Câu 83. Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên  0;  , thỏa mãn f  x   tan x. f   x  
.
cos3 x
 2
 
 
Biết rằng 3 f    f    a 3  b ln 3 trong đó a, b   . Giá trị của biểu thức P  a  b
3
6
bằng
14
2
7
4
A.
.
B.  .
C. .
D.  .
9
9
9
9
f 1  2 ln 2  1 ,
Câu 84. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1; 0 thỏa mãn

A. 

35
.
36

B. 

2
.
3

C. 

x  x  1 f   x    x  2  f  x   x  x  1 , x   \ 1;0 . Biết f  2   a  b ln 3 , với a , b là hai
số hữu tỉ. Tính T  a 2  b .
3
21
A. T 
.
B. T  .
16
16

C. T 

3
.
2

D. T  0 .

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Câu 85. Cho

hàm

số

y  f  x

 xf   x   2 f  x   .ln x  x
nào dưới đây?
25 

A.  12;  .
2 


3



đạo

hàm

liên

 f  x  , x  1;    ; biết f

27 

B.  13;  .
2 


tục

trên

1;   

 e   3e . Giá trị
3

 23

C.  ;12  .
 2




thỏa

mãn

f  2  thuộc khoảng

29 

D.  14;  .
2 


------------------- HẾT -------------------

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

NGUYÊN HÀM

Vấn đề 13

A. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)


 0dx  C .








x



  k dx  kx  C .

x n 1
C.
n 1

1 (ax  b)n 1
C.
a n 1





 x dx  ln x C .



 ax  b dx  a ln ax  b  C .

1
C.
x



 (ax  b)

 sin x dx   cos x  C .



 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C .



 cosx dx  sin x  C .



 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C .



 sin





dx
1
  cot(ax  b )  C .
a
sin (ax  b )









dx
1
 tan(ax  b )  C .
cos (ax  b) a



 e dx  e



x
 a dx 

x n dx 

1

1
2

dx  

1
2

x

dx   cot x  C .

1
dx  tan x  C .
cos2 x
x

x

(ax  b)n dx 

1

1

1

2

1
1
C.
dx   
a ax  b

1

1

2

2

1
dx  eax b  C .
a
1 a x 
C.
  a x  dx 
 ln a

C.



ax
C.
ln a

e

ax b

♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax  b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm

1

a

Một số nguyên tắc tính cơ bản
PP
 Tích của đa thức hoặc lũy thừa 
 khai triễn.
PP
 Tích các hàm mũ 
 khai triển theo công thức mũ.
1 1
1 1
 Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: sin2 a   cos2a, cos2 a   cos2a.
2 2
2 2
PP
 Chứa tích các căn thức của x 
 chuyển về lũy thừa.

Câu 1.

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos x  6 x là
A. sin x  3 x 2  C .

B.  sin x  3 x 2  C . C. sin x  6 x 2  C .
Lời giải

D.  sin x  C .

Chọn A
Ta có  f  x  dx    cos x  6 x  dx  sin x  3 x 2  C .
Câu 2.

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  6 là
A. x2  6 x  C .

B. 2x2  C .

C. 2 x 2  6 x  C .
Lời giải

D. x 2  C .

Chọn A

  2 x  6  dx  x

2

 6x  C
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 3.

Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  4 là
A. 2 x 2  4 x  C .

B. x 2  4 x  C .

C. x 2  C .
Lời giải

D. 2x 2  C .

Chọn B
Ta có  f  x  dx    2 x  4  dx  x 2  4 x  C .
Câu 4.

Họ nguyên hàm của hàm số f  x   e x  x là
A. e x  x 2  C .

B. e x 

1 2
x C .
2

C.

1 x 1 2
e  x  C . D. e x  1  C .
x 1
2

Lời giải
Chọn
Ta có
Câu 5.

B.

 e

x

 x  dx  e x 

1 2
x C .
2

4
2
Nguyên hàm của hàm số f  x  x  x là

A. 4 x 3  2 x  C

B.

1 5 1 3
x  x C
5
3

C. x 4  x 2  C

D. x 5  x 3  C .

Lời giải
Chọn B

 f  x  dx    x
Câu 6.

4

1
5

Nguyên hàm của hàm số f  x   x3  x 2 là
A. x 4  x 3  C .

Chọn
Câu 7.

1
3

 x 2  dx  x 5  x 3  C .

B.

1 4 1 3
C. 3 x 2  2 x  C .
x  x C .
4
3
Lời giải

D. x 3  x 2  C .

1 4 1 3
x  x C
4
3

Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 3 x
sin 3 x
C
3
sin 3 x
D.  cos 3 xdx  
C
3
Lời giải

B.  cos 3 xdx 

A.  cos 3 xdx  3 sin 3 x  C
C.  cos 3 xdx  sin 3 x  C
Chọn B
Ta có:  cos 3 xdx 
Câu 8.

sin 3 x
C
3

Họ nguyên hàm của hàm số f  x  
A. ln x  cos x  C .

B. 

1
 sin x là
x

1
C. ln x  cos x  C .
 cos x  C .
x2
Lời giải

D. ln x  cos x  C .

Chọn D
Ta có
Câu 9.

1



1

 f  x  dx    x  sin x  dx   x dx   sin xdx  ln x  cos x  C .

Cho biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Tìm I    2 f  x   1dx.
A. I  2 xF  x   x  C . B. I  2 xF  x   1  C . C. I  2 F  x   1  C . D. I  2 F  x   x  C .

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Lời giải
Chọn D
Ta có I    2 f  x   1dx   2 f  x  dx   1dx  2 F  x   x  C .
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f  x   e x  1 là
A. e x  x  C .

B. e x  x  C .

C. e x  x  C .
Lời giải

D. e x  x  C .

Chọn B
Ta có:  f  x  dx    e  x  1 dx  e  x  x  C .
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  1.

2

A.

 f  x  dx  3  2 x  1

C.

 f  x  dx   3

1

2 x  1  C.

2 x  1  C.

1

B.

 f  x  dx  3  2 x  1

D.

 f  x  dx  2

1

2 x  1  C.

2 x  1  C.

Lời giải
Chọn B



1
1
2 d  2 x  1
2
x

1


2
1
  2 x  1 2 x  1  C
3

f  x  dx   2 x  1dx 

Câu 12. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin x  e x  5 x ?
A. F  x    cos x  e x 
C. F  x   cos x  e x 

5 2
x 1 .
2

B. F  x   cos x  e x  5 x  3 .

5 2
x .
2

D. F  x    cos x 

ex
5
 x2 .
x 1 2

Lời giải
Chọn A
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản, ta có:
5 2
x
x
 f  x  dx   sin x  e  5 x dx   cos x  e  2 x  C .
5
Vậy F  x    cos x  e x  x 2  1 là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin x  e x  5 x .
2



Câu 13. Cho



1

 f  x  dx  x  ln x  C

( với C là hằng số tùy ý ), trên miền  0;   , chọn khẳng định

đúng về hàm số f  x  .

C. f  x    x 

x 1
.
x2
1
D. f  x    2  ln x .
x
Lời giải
B. f  x  

A. f  x   x  ln x .

1
 ln x .
x

Chọn B
1 1 x 1
1

Ta có: f  x     ln x  C    2   2
x
x
x
x


Câu 14. Nguyên hàm của hàm số f  x   x 

1
trên khoảng  0;   là
x

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

1
 C.
x2
Lời giải
Chọn D

Ta có



C. x 2 

B. 1  ln x  C.

A. 1 

1
 C.
x2

D.

x2
 ln x  C.
2

1
x2

f  x dx    x   dx   ln x  C.
x
2


Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e 2 x
A.  e 2 x dx  2e 2 x  C .

B.  e2 x dx  e2 x  C .

e 2 x 1
C .
2x  1

C.  e 2 x dx 

D.  e 2 x dx 

1 2x
e C.
2

Lời giải
Chọn D

e

2x

dx 

1 2x
1
e d  2 x   e 2 x  C.

2
2

Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f  x  

x
C.
2

A. 

B.

1
x x



2
C .
x

C. 

2
C .
x

D.

x
C .
2

Lời giải
Chọn C

x

1
x

dx  

1
x

3
2



3
2

dx   x dx 

x





1
2

1
2

C  

2
C.
x

Câu 17. Cho hàm số y  f ( x) thỏa mãn f (0)  1 , f '( x)  2 x  sin x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f ( x)  x 2  cos x.

B. f ( x)  x 2  cos x  2.

C. f ( x)  x 2  cos x.

D. f ( x)  x 2  cos x  1.
Lời giải

Chọn B
Ta có: f ( x )   f '( x) dx    2 x  sin x  dx  x 2  cos x  C .
f (0)  1  C  1  C  2  f ( x)  x 2  cos x  2 .
1
dx .
Câu 18. Tìm họ nguyên hàm F  x   
3
 2 x  1
A. F  x  
C. F  x  

1
4  2 x  1

2

C .

B. F  x  

3

C .

D. F  x  

1
4  2 x  1

1
6  2 x  1

2

C

3

C .

1
6  2 x  1

Lời giải
Chọn A
Ta có: F  x   

1

 2 x  1

3

dx 

1
1
1
3
d  2 x  1    2 x  1 d  2 x  1 .
3

2  2 x  1
2

1
1
2
  .  2 x  1  C 
C
2
4
4  2 x  1
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

Vậy F  x  

1
4  2 x  1

2

C .

Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   cos3 x là

cos 4 x
A.
C.
4

sin 3 x
sin 3 x
B. sin x 
 C . C. x 
C .
3
3
Lời giải

sin 3 x
D.  sin x 
C .
3

Chọn B
3

Ta có:

sin x
 cos x  dx   1  sin x  cos x dx   1  sin x  d sin x   sin x  3  C .
3

2

2

Vậy họ nguyên hàm của hàm số f x   cos 3 x là sin x 

sin 3 x
C .
3


ex 
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   e  x  2 
.
cos 2 x 

2
A. F  x    x  tan x  C .
B. F  x   2 e x  tan x  C .
e
2
C. F  x    x  tan x  C .
D. F  x   2 e x  tan x  C .
e
Lời giải
Chọn A

1 
2
ex 

dx   x  tan x  C
dx    2e x 
Ta có  e  x  2 
2 
2 
cos x 
e
cos x 


Câu 21. Xác định họ nguyên hàm F  x  của hàm số f  x    x  1 e x
A. F  x  

ex

2

C. F  x   2e

 2 x 3

C

2
x2  2 x 3

,C  R .

 C, C  R .

2

 2 x 3

ex

2

 2 x 3

C
,C  R .
x 1
2
D. F  x   e x  2 x 3  C , C  R .

B. F  x  

Lời giải
Chọn A
Xét I    x  1 e x

2

 2 x 3

dx 

1 x2  2 x 3
ex
2
e
d
x

2
x

3



2

2

 2 x 3

C

2

.

Câu 22. Họ nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x cos 2 x là
A.

1
1
x  sin 4x  C .
4 16

B.

1
1
x  sin 4x .
8 32

C.

1
1
1
1
x  sin 4 x  C . D. x  sin 4x  C .
8
8
8 32

Lời giải
Chọn D
1
1 1  cos 4 x 1 1
Ta có f  x   sin 2 x cos 2 x  sin 2 2 x  .
  cos 4 x .
4
4
2
8 8
1
1
1 1

Do đó  f  x  dx     cos 4 x dx  x  sin 4 x  C .
8
32
8 8

109

Câu 23. Cho F  x     2 x  1

dx , mệnh đề nào dưới đây đúng?

108

A. F  x 

 2 x  1

108

110

 C.

B. F  x 

 2 x  1

110

 C.

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
108

C. F  x 

 2 x  1


110

D. F  x 

 C.

216

 2 x  1

220

 C.

Lời giải
Chọn D
110

109

F  x     2 x  1

1  2 x  1
1
109
dx    2 x  1 d  2x +1  .
2
110
2

Câu 24. Tìm các hàm số f ( x) biết f ' ( x) 

110

C

 2 x  1


 C.

220

cos x
.
(2  sin x) 2

sin x
C .
(2  sin x) 2
1
C .
C. f ( x)  
2  sin x

1
C .
(2  cos x)
sin x
C .
D. f ( x) 
2  sin x
Lời giải

A. f ( x) 

B. f ( x) 

Chọn C
Ta có f ( x)   f ' ( x)dx  
Câu 25.

cos x
d(2  sin x )
1
dx  

C .
2
2
2  sin x
(2  sin x)
(2  sin x)

Họ nguyên hàm của hàm số y   2 x  1
A.

 2 x  1

2018

2018

C .

B.

 2 x  1

2019



2020

4040

C .

C.

 2 x  1

2020

C .

2020

D.

 2 x  1

2018

4036

Lời giải
ChọnB
2020

Ta có:

  2 x  1

2019

1
1  2 x  1
2019
dx    2 x  1 d  2 x  1  .
2
2
2020

 2 x  1
C 

4040

A. y  2 x  ln sin x  2 cos x .

3sin x  cos x
sin x  2 cos x
B. y  x  ln sin x  2 cos x .

C. y  x  ln sin x  2 cos x .

D. y  ln sin x  2cos x .

Câu 26. Hàm nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f  x  

Lời giải
Chọn B
Ta có f  x  

 sin x  2 cos x    cos x  2sin x   1  cos x  2sin x .

sin x  2 cos x
sin x  2 cos x
 cos x  2sin x 
  f  x  dx   1 
 dx  x  ln sin x  2cos x  C .
 sin x  2cos x 
B. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
1. Công thức thường áp dụng
1
1
1
1
1
dx   
C.
 
dx  ln ax  b  C .  
2
a
ax
b
ax  b
a
(ax  b )
a
 ln a  ln b  ln(ab).  ln a  ln b  ln 
b
n
 ln a  n ln a.  ln1  0.

2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I  

2020

P(x )
dx .
Q(x )

PP
 Nếu bậc của tử số P(x )  bậc của mẫu số Q(x ) 

 Chia đa thức.

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

C .

C .

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
PP
 phân tích mẫu Q(x ) thành tích số, rồi sử
 Nếu bậc của tử số P(x )  bậc của mẫu số Q(x ) 
dụng phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.
PP
 Nếu mẫu không phân tích được thành tích số 
 thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng
cách đặt X  a tan t, nếu mẫu đưa được về dạng X 2  a 2 .

x2
trên khoảng 1;   là
x 1
3
3
 C.
 C.
B. x  3ln  x  1  C. C. x 
D. x 
2
2
 x  1
 x  1

Câu 27. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) 
A. x  3ln  x  1  C.

Lời giải
Chọn A
Trên khoảng 1;   thì x  1  0 nên
x2



3 

 f ( x)dx   x  1dx   1  x  1 dx  x  3ln x  1  C  x  3ln  x  1  C.
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

1
.
5x  2

dx

A.

 5x  2  5 ln 5x  2  C

C.

 5x  2  ln 5x  2  C

dx

dx

1

B.

 5x  2  5 ln 5x  2  C

D.

 5x  2   2 ln 5x  2  C

dx

1

Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức

dx

1

dx

1

 ax  b  a ln ax  b  C  a  0  ta được  5x  2  5 ln 5x  2  C .
1
1

trên khoảng  ;  là:
3x  1
3

1
B. ln(1  3x)  C
C. ln(1  3x)  C
3
Lời giải

Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 
A.

1
ln(3x  1)  C
3

D. ln(3x  1)  C

Chọn C
Ta có:

1

1 d (3x  1) 1
1
1

 ln 3x  1  C  ln(1  3 x)  C (do x   ;  )
3x  1
3
3
3


 3x  1dx  3 

Câu 30. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x  

1
C .
x2
3
C .
C. 2ln  x  2 
x2
A. 2ln  x  2  

2x 1

 x  2

2

trên khoảng  2;    là

1
C .
x2
3
C .
D. 2ln  x  2 
x2
Lời giải
B. 2ln  x  2  

Chọn A
Đặt x  2  t  x  t  1  dx  dt với t  0
2t  1
1
2 1 
Ta có  f  x  dx   2 dt =    2  dt  2 ln t   C
t
t
t t 
1
 C.
Hay  f  x dx  2ln  x  2  
x2

Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

3x  1
trên khoảng (1; ) là
( x  1) 2
1
 c.
B. 3ln( x  1) 
x 1
2
c.
D. 3ln( x  1) 
x 1
Lời giải

Câu 31. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x) 

2
c.
x 1
1
c.
C. 3ln( x  1) 
x 1
A. 3ln( x  1) 

Chọn A

3 x  3  2 3( x  1)  2
3
2



2
2
( x  1)
( x  1)
x  1 ( x  1)2
3
2
d( x  1)
d( x  1)
Vậy  f ( x)dx   (

)dx  3
 2
2
x  1 ( x  1)
x 1
( x  1) 2
2
 C vì x  1 .
 3ln x  1  2  ( x  1) 2 d( x  1)  3ln( x  1) 
x 1
Ta có f ( x) 

Câu 32. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x  
4
C .
x2
2
C. 3ln  x  2  
C
x2

3x  2

 x  2

2

trên khoảng  2;  là

2
C
x2
4
D. 3ln  x  2  
C
x2
Lời giải

A. 3ln  x  2  

B. 3ln  x  2  

Chọn D
Ta có f  x  

3x  2

 x  2

2



3 x  2  4

 x  2

 3

3x  2

4

  x  2  dx    x  2   x  2 
2



2

2



3
4

. Do đó
x  2  x  2 2


4
C.
 dx  3ln  x  2  

x

2


Câu 33. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x  
2
C.
x 1
2
C. 2 ln  x  1 
C .
x 1

2x 1

 x  1

2

trên khoảng  1;    là

3
C.
x 1
3
D. 2 ln  x  1 
C .
x 1
Lời giải

A. 2 ln  x  1 

B. 2 ln  x  1 

Chọn B
Ta có



f  x  dx  

2x 1

2  x  1  3

 x  1

 x  1

dx  
2

2

 2
3 
3
dx   

dx  2 ln  x  1 
 C.
2 
x 1
 x  1  x  1 

1
1

trên  ;  .
2
1  2x

1
B. ln 2 x  1  C .
C. ln 2 x  1  C .
2
Lời giải

Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
A.

1
ln 1  2 x   C .
2

1
D.  ln 2 x  1  C .
2

Chọn D

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020

1
1
1
1

dx   ln 1  2 x  C   ln 2 x  1  C .
Với mọi x   ;  ta có: 
1 2x
2
2
2

Câu 35. Cho biết

2 x  13

 ( x  1)( x  2) dx  a ln x  1  b ln x  2  C . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a  2b  8 .

B. a  b  8 .

C. 2a  b  8 .
Lời giải

D. a  b  8 .

Chọn D
Ta có
2 x  13
3 
1
1
 5
 ( x  1)( x  2) dx    x  1  x  2  dx  5 x  1 dx  3 x  1 dx  5ln x  1  3ln x  2  C .
a  5
 a b  8.
Vậy 
b  3
1

Câu 36. Tích phân I  

 x  1

0

2

x2  1

dx  a ln b  c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu

thức a  b  c ?
A. 3 .

B. 0 .

C. 1.

D. 2 .

Lời giải
Chọn D
1

 x  1

2

1

2x 

dx   1  2 dx  x  ln x 2  1
2
x 1
x 1 
0
0
Khi đó a  1 , b  2 , c  1 .
Vậy a  b  c  2 .

Ta có : I  





1

 1  ln 2 .
0

a
3
a
x 1
là phân số tối giản .
dx  ln
 C , với b là số thực dương và
b
x  4x  3
b x3
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  2b  8 .
B. a  b  8 .
C. 2a  b  8 .
D. a  b  8 .
Lời giải
Chọn C
3
3
3  1
1 
Ta có:  2
dx  
dx   

 dx
x  4x  3
2  x 1 x  3 
 x  1 x  3

Câu 37. Cho biết 

2

3
3 x 1
ln x  1  ln x  3   ln
C .

2
2 x3
Vậy a  3, b  2  2a  b  8 .


Câu 38. Cho biết 

4x 1
b
 3

dx  ax  ln  2 x  3   C , với mọi x    ;    . Mệnh đề nào sau đây
2x  3
2
 2


đúng?
A. 2a  b  1 .

B. 2 a  b  3 .
C. 2a  b  9 .
Lời giải

D. 2 a  b  7 .

Chọn A
Ta có:

4x 1



5



5

 2 x  3 dx    2  2 x  3  dx  2 x  2 ln 2 x  3  C

 3

Vì x    ;    nên 2 x  3  2 x  3 .
 2


Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9


Xemtailieu.com không chịu trách nhiệm liên quan đến các vấn đề bản quyền tài liệu được thành viên tự nguyện đăng tải lên.