BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trịnh Thị Ngọc Nga

VỀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA
MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
VỚI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Trịnh Thị Ngọc Nga

VỀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA
MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
VỚI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài "Về tính chính quy nghiệm của một
lớp phương trình elliptic với dữ liệu độ đo" do chính tôi thực hiện. Các kết quả
trong luận văn là trung thực và không sao chép bất kỳ luận văn nào khác.
Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã thừa kế những kết quả trong nhiều
bài báo đã được công bố của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi
xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn đã được cám ơn
và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc và được
phép công bố.

Học viên thực hiện

Trịnh Thị Ngọc Nga

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được rất nhiều sự
giúp đỡ, động viên từ quý cô, gia đình và bạn bè. Vì vậy, trước tiên tôi xin chân
thành cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Bích Huy và TS. Nguyễn Thành Nhân đã tận
tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán - Tin học, Phòng Sau
Đại học, Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện tốt luận văn.
Tôi xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc và góp ý
giúp cho luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán - Tin học trường Đại học
Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý
báu trong suốt những năm học vừa qua, tạo cho tôi một nền tảng vững chắc để
thực hiện luận văn.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp Toán
Giải tích K27 đã hết lòng ủng hộ và động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập cũng như trong quá trình thực hiện luận văn này.
Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên luận văn còn nhiều hạn chế và không
tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Chân thành cảm ơn.
Học viên thực hiện

Trịnh Thị Ngọc Nga

MỤC LỤC

Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Các kí hiệu
Mở đầu

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

7

1.1 Toán tử tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2 Độ đo Radon hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3 Điều kiện p-capacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Nghiệm renormalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Không gian Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Các toán tử cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Chương 2. Đánh giá gradient trong không gian Lorentz

20

2.1 Đánh giá địa phương bên trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Đánh giá địa phương trên biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Kết quả chính quy nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Chương 3. Ứng dụng vào phương trình dạng Riccati

47

3.1 Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Chuẩn trong không gian Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Sự tồn tại nghiệm renormalized của phương trình dạng Riccati

51

Kết luận

59

Tài liệu tham khảo

61

CÁC KÝ HIỆU



Miền mở, bị chặn trong Rn

Ωc

Phần bù của miền Ω trong Rn

∂Ω

Biên của miền Ω

diam(Ω)

Đường kính của miền Ω

Br (x)

Quả cầu mở tâm x, bán kính r trong Rn

|E|

Độ đo Lebesgue của tập đo được E ⊂ Rn

∇u

Gradient của hàm u : Rn → R

div(F )

Divergence của hàm F : Rn → Rn

Mb (Ω)

Không gian độ đo Radon với biến phân bị chặn trên Ω

Lp (Ω)

Không gian Lebesgue các hàm đo được, có lũy thừa p khả tích trên Ω

L∞ (Ω)

Không gian các hàm đo được, bị chặn hầu khắp nơi trên Ω

ffl

E

f (x)dx

Tích phân trung bình của hàm f trên E ⊂ Rn

W 1,p (Ω)

Không gian Sobolev trên Ω

1,p
Wloc
(Ω)

Không gian Sobolev địa phương trên Ω

k.k

Chuẩn

C n (Ω)

Tập các hàm khả vi liên tục cấp n trên Ω

C ∞ (Ω)

Tập các hàm khả vi liên tục vô hạn lần trên Ω



Kết thúc chứng minh.

1

MỞ ĐẦU

Phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực thu hút nhiều
nhất sự quan tâm của các nhà toán học. Liên quan đến việc nghiên cứu một số
tính chất định tính của nghiệm phương trình đạo hàm riêng, một trong các bài
toán được nghiên cứu ban đầu là bài toán về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và
tính chính quy nghiệm. Với sự phát triển liên tục, hiện nay có khá nhiều phương
pháp được sử dụng để khảo sát các tính chất nghiệm này của phương trình đạo
hàm riêng. Trong một số kỹ thuật gần đây, việc chứng minh được sự tồn tại, duy
nhất nghiệm và nghiên cứu tính chính quy của nghiệm các phương trình đạo
hàm riêng thường được áp dụng từ công cụ hữu hiệu từ tính bị chặn của các toán
tử cực đại trong lĩnh vực Giải tích điều hòa, hoặc các kết quả đánh giá gradient
cho nghiệm của phương trình đạo hàm riêng. Các phương pháp này dần chứng
tỏ được sự hiệu quả, khi chứng minh được các kết quả chính quy nghiệm cho
các lớp bài toán khá tổng quát với dữ liệu độ đo. Từ đó, các nghiên cứu về đánh

2

giá gradient cho nghiệm cũng bắt đầu được nhiều nhà toán học nghiên cứu sôi
động, kéo theo rất nhiều kết quả được công bố trên các tạp chí toán học uy tín.
Liên quan đến chủ đề này, có thể kể đến các công trình mới và tiêu biểu của các
nhà toán học lớn như L.A. Caffarelli, E. DiBenedetto, L. Boccardo, F. Murat,
G. Mingione, F. Duzaar, M. Colombo, T. Kuusi, L. Grafakos, T. Kilpelainen, J.
Maly, Y. Sire, P. Baroni, L. Veron, S. Byun, T. Mengesha, . . .

Trong luận văn này, chúng tôi xét phương trình elliptic tựa tuyến tính với dữ
liệu độ đo, có dạng như sau:


−div(A(x, ∇u)) = µ trong Ω,



u

= 0

trên ∂Ω,

trong đó Ω là miền mở, bị chặn trong Rn với n ≥ 2, µ là độ đo Radon hữu hạn
trong Ω, toán tử phi tuyến A là hàm giá trị vector Carathédory thỏa: tồn tại
p > 1 và hai hằng số dương ζ , ν sao cho
|A(x, ξ)| ≤ ζ|ξ|p−1 ,
hA(x, ξ) − A(x, η), ξ − ηi ≥ ν |ξ|2 + |η|2

 p−2
2

|ξ − η|2 ,

với mọi (ξ, η) ∈ Rn × Rn \ {(0, 0)}.

Về sự tồn tại nghiệm của phương trình này, kết quả đầu tiên được đưa ra bởi
L. Boccardo và các cộng sự [1, 2]. Trong đó, các tác giả chỉ ra rằng sự tồn tại

3

và duy nhất của nghiệm yếu cho lớp phương trình này có thể không còn đúng
khi dữ liệu là một độ đo hữu hạn. Do đó, các tác giả giới thiệu một loại nghiệm
khác của phương trình này, gọi là nghiệm entropy, và chứng minh được sự tồn
tại và duy nhất nghiệm entropy của phương trình trên với dữ liệu độ đo. Sau
đó, nhóm tác giả G. Dal Maso [7] đưa ra một bức tranh toàn cảnh và đầy đủ
hơn về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình này, bao gồm định nghĩa
các loại nghiệm mới như nghiệm renormalized, nghiệm entropy, nghiệm SOLA
(Solution Obtained as Limit of Approximations). Các tác giả còn chứng minh
một số kết quả về các mối liên hệ và sự tương đương giữa các định nghĩa này.
Từ sau các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình trên với
dữ liệu độ đo, nhiều kết quả về tính chính quy nghiệm bắt đầu được nghiên cứu
sâu hơn. Một trong các kết quả nổi bật đầu tiên có thể kể đến các bài báo của
Mingione [9, 10] năm 2010. Trong đó, G. Mingione lần đầu đưa ra phương pháp
sử dụng toán tử cực đại bậc không nguyên để thu được đánh giá gradient địa
phương, xung quanh các điểm bên trong miền Ω cho trường hợp chính quy, tức
là khi p > 2. Năm 2014, N. C. Phuc [13, 14, 15] mở rộng phương pháp này để
thu được kết quả trên biên cho trường hợp p > 2 − n1 khi Ω là miền Reifenberg và
áp dụng kết quả này để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình dạng
Riccati với dữ liệu độ đo. Gần đây, Q.-H. Nguyen và N. C. Phuc [11] thu được

4

kết quả đánh giá gradient toàn cục trong trường hợp kỳ dị, khi

3n−2
2n−1

< p ≤ 2 − n1

trên miền Reifenberg. Tiếp theo loạt nghiên cứu này, tác giả M.-P. Tran [16]
cũng thu được đánh giá gradient cho trường hợp

3n−2
2n−1

< p ≤ 2−

1
n

trên miền

xác định Ω thỏa điều kiện p-capacity uniform thickness, một dạng miền yếu hơn
miền thỏa điều kiện Reifenberg, trong không gian Lorentz. Kết quả này vừa
được công bố đầu năm 2019.

Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu rõ hơn kỹ thuật good-λ được sử dụng
để thu được kết quả đánh giá gradient của nghiệm phương trình trên, được giới
thiệu trong một số bài báo gần đây của các tác giả kể trên, mà gần nhất là bài
báo của các tác giả N.Q. Hung, N. C. Phuc [11] và M.-P. Tran [16]. Tiếp theo,
chúng tôi trình bày một ứng dụng của kết quả này để chứng minh sự tồn tại
nghiệm của một lớp phương trình p-Laplace với dữ liệu độ đo, có thể xem như
một dạng ổn định của phương trình Jacobi-Hamilton. Kết quả này được tham
khảo trong [17].

Nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương.

• Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày một

số kiến thức cơ bản về phương trình elliptic dạng divergence và giả thiết

5

về miền xác định của phương trình này dưới điều kiện p-capacity. Ngoài
ra, các khái niệm về độ đo Radon hữu hạn, nghiệm renormalized, không
gian Lorentz và tính bị chặn của các toán tử cực đại trong các không gian
Lebesgue và Lp -yếu cũng được nhắc đến trong chương này. Tuy nhiên, phải
nhấn mạnh rằng các khái niệm về nghiệm renormalized cũng chỉ được nhắc
dưới góc nhìn thật đơn giản trong luận văn này. Bởi vì một nghiên cứu
đầy đủ về loại nghiệm này tương đối phức tạp, rất khó để trình bày đầy
đủ trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ. Chúng tôi nghĩ rằng tài
liệu [7] có thể cung cấp định nghĩa chi tiết về loại nghiệm này cho phương
trình elliptic với dữ liệu độ đo. Tài liệu tham khảo của chương này bao
gồm bài báo của G. Dal Maso và cộng sự [7], cùng một số bài báo của
tác giả Mingione [9, 10], N. Q. Hung, N. C. Phuc [11] và quyển sách của
Grafakov [6].

• Chương 2: Đánh giá gradient trong không gian Lorentz. Chương

này trình bày nội dung chính của luận văn về kết quả chính quy nghiệm
cho phương trình elliptic tựa tuyến tính dạng divergence với dữ liệu độ
đo trong không gian Lorentz. Đánh giá gradient trong không gian Lorentz
dựa trên một số đánh giá địa phương bên trong và đánh giá trên biên của
miền xác định. Bên cạnh các đánh giá địa phương bên trong và gần biên

6

miền xác định, để thu được kết quả đánh giá gradient trong không gian
Lorentz, công việc chính là xây dựng một bất đẳng thức dạng good-λ trong
Định lý 2.3.2. Việc chứng minh bất đẳng thức này dựa trên Bổ đề 2.3.1,
được biết đến như một dạng của bổ đề phủ Vitali hoặc một dạng phân tích
Calderón-Zygmund-Krylov-Safonov. Kết quả chính của chương này được
phát biểu trong Định lý 2.3.3, đưa ra một bất đẳng thức đánh giá tính bị
chặn của gradient nghiệm thông qua toán tử cực đại tác động lên dữ liệu
độ đo. Tài liệu tham khảo chính của chương này là bài báo [16] của tác giả
M.-P. Tran.

• Chương 3: Ứng dụng phương trình dạng Riccati. Trong Chương

3, chúng tôi ứng dụng kết quả đánh giá gradient cho phương trình dạng
divergence ở Chương 2 để chứng minh sự tồn tại nghiệm renormalized của
phương trình dạng Riccati trong không gian Lorentz. Phương trình này
được biết đến như phương trình Kardar-Parisi-Zhang trong vật lý [3, 4],
hoặc một dạng ổn định thời gian của phương trình Jacobi-Hamilton. Chứng
minh sự tồn tại nghiệm của lớp phương trình này dựa trên định lý điểm
bất động Schauder của một toán tử liên tục, xác định trên tập lồi, đóng
và có ảnh là tập tiền compact. Tài liệu tham khảo của chương này là bài
báo [17].

7

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn
bị

Trong chương này, chúng tôi mô tả giả thiết của toán tử phi tuyến trong phương
trình elliptic dạng divergence và giả thiết về điều kiện p-capacity của miền xác
định. Ngoài ra, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản của các khái niệm về
độ đo Radon hữu hạn, khái niệm nghiệm renormalized của phương trình có dữ
liệu độ đo, định nghĩa không gian Lorentz và tính bị chặn của các toán tử cực
đại trong các không gian Lebesgue và Lp -yếu cũng được nhắc đến trong chương
này. Chúng tôi lưu ý rằng khái niệm về nghiệm renormalized trong luận văn
này cũng chỉ được nhắc dưới góc nhìn thật đơn giản. Định nghĩa chi tiết về loại
nghiệm này cho phương trình elliptic với dữ liệu độ đo có thể tham khảo trong
tài liệu [7]. Tài liệu tham khảo của chương này bao gồm bài báo của G. Dal
Maso và cộng sự [7], cùng một số bài báo của tác giả Mingione [9, 10], N. Q.
Hung, N. C. Phuc [11] và quyển sách của Grafakos [6].

8

1.1

Toán tử tựa tuyến tính

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung khảo sát tính chính quy nghiệm của
phương trình elliptic tựa tuyến tính dạng divergence với dữ liệu độ đo, như sau:


−div(A(x, ∇u)) = µ trong Ω,
(1.1)


u
= 0 trên ∂Ω.
Toán tử tựa tuyến tính A : Ω × Rn → Rn trong phương trình (1.1) là hàm
Carathédory, nghĩa là A(·, ξ) đo được trên Ω và A(x, ·) liên tục trên Rn với x ∈ Ω
hầu khắp nơi, thỏa mãn hai điều kiện:
|A(x, ξ)| ≤ ζ|ξ|p−1 ,
hA(x, ξ) − A(x, η), ξ − ηi ≥ ν |ξ|2 + |η|2

(1.2)
 p−2
2

|ξ − η|2 ,

(1.3)

với mọi (ξ, η) ∈ Rn × Rn \ {(0, 0)} và x ∈ Rn . Trong đó 1 < p ≤ n, ν và ζ là các
hằng số dương. Với hai điều kiện này, ta thấy
hA(x, ξ), ξi ' |ξ|p ,

ξ ∈ Rn .

Một trong những dạng đặc biệt của phương trình trên là khi
A(x, ξ) = |ξ|p−2 ξ,

ξ ∈ Rn .

Trong trường hợp này, phương trình (1.1) trở thành phương trình p-Laplace


−∆p u = µ trong Ω,



u

= 0

trên ∂Ω,

9

trong đó toán tử p-Laplace ∆p được định nghĩa bởi
∆p = div |∇u|p−2 ∇u .



Chú ý rằng từ (1.2) và tính liên tục của A theo biến ξ có thể suy ra được
A(x, 0) = 0.

Từ giả thiết trên, ánh xạ u 7→ −div(A(x, ∇u)) là toán tử cưỡng bức, liên tục,
0

bị chặn, đơn điệu trên W 1,p (Ω) và nhận giá trị trên W −1,p (Ω), trong đó p0 là liên
hợp Hölder của p, tức là
1
1
+ 0 = 1.
p p
0

Hơn nữa, với mỗi µ trong không gian W −1,p (Ω), tồn tại duy nhất nghiệm yếu
v ∈ W01,p (Ω) của bài toán



−div(A(x, ∇v)) = µ trong Ω,



v

= 0

(1.4)

trên ∂Ω,

theo nghĩa phân phối, tức là
ˆ
hA(x, ∇v), ∇ϕidx = hµ, ϕi,

∀ϕ ∈ W01,p (Ω),


0

với h., .i là ký hiệu tích trong giữa W −1,p (Ω) và W01,p (Ω).

1.2

Độ đo Radon hữu hạn

Đầu tiên, ta định nghĩa Mb (Ω) là không gian các độ đo Radon trên Ω với biến
phân bị chặn, Cb0 (Ω) không gian các hàm bị chặn, liên tục trên Ω sao cho

´


ϕdµ

10

hữu hạn với mọi ϕ ∈ Cb0 (Ω) và µ ∈ Mb (Ω). Phần dương, phần âm và biến phân
toàn phần của độ đo µ trong Mb (Ω) lần lượt được ký hiệu là µ+ , µ− và |µ|.
M0 (Ω) là tập hợp gồm các độ đo µ trong Mb (Ω) liên tục tuyệt đối ứng với
p-capacity, nghĩa là µ(B) = 0 với mỗi tập Borel B ⊂ Ω thỏa mãn capp (B, Ω) = 0.

Ms (Ω) là tập hợp gồm các độ đo µ trong Mb (Ω) kì dị ứng với p-capacity,
nghĩa là tồn tại tập Borel E ⊂ Ω với capp (E, Ω) = 0 sao cho µ(B) = µ(E ∩ B) với
mọi tập Borel B ⊂ Ω.

Định nghĩa 1.2.1 ([7]). Dãy µn trong Mb (Ω) hội tụ về µ trong Mb (Ω) nếu:
ˆ
lim

n→+∞

ˆ
ϕdµn =



ϕdµ,

(1.5)



với ϕ ∈ Cb0 (Ω).

Chú ý 1.2.2 ([7]). Nếu µn là độ đo không âm, thì µn hội tụ về µ nếu và chỉ nếu
µn (Ω) hội tụ về µ(Ω) và thỏa (1.5) với ϕ ∈ Cc∞ (Ω). Đặc biệt, nếu µn ≤ 0, µn hội

tụ về µ nếu và chỉ nếu thỏa (1.5) với ϕ ∈ C ∞ (Ω).

Chú ý 1.2.3 ([7]). Mỗi độ đo µ trong Mb (Ω) tồn tại duy nhất cặp độ đo (µ0 , µs ),
với µ0 trong M0 (Ω) và µs trong Ms (Ω), sao cho µ = µ0 + µs , µ là độ đo không
âm, µ0 và µs cũng vậy.

11

1.3

Điều kiện p-capacity

Chúng tôi sẽ mô tả sơ lược qua điều kiện p-capacity uniform thickness, và trước
hết là định nghĩa p-capacity. Cho p và p0 là các số thực sao cho 1 ≤ p ≤ n và p0
là liên hợp Hölder của p. Ta định nghĩa p-capacity capp (B, Ω) của tập B ⊆ Ω bất
kỳ như sau.

Định nghĩa 1.3.1 ([7]).

• p-capacity của tập compact bất kỳ K ⊂ Ω được định nghĩa là


capp (K, Ω) = inf

|∇ϕ|p dx : ϕ ∈ Cc∞ , ϕ ≥ χK


,



trong đó χK là hàm đặc trưng trên tập K .
• p-capacity của tập mở bất kỳ U ⊆ Ω được định nghĩa là


capp (U, Ω) = sup capp (K, Ω),

K compact,



K⊆U .

• Kế tiếp, p-capacity của tập bất kỳ B ⊆ Ω được định nghĩa là


capp (B, Ω) = inf capp (U, Ω),

U mở,



B⊆U .

Một hàm u xác định trên Ω được gọi là liên tục capacity nếu với mọi ε > 0,
tồn tại tập con B ⊆ Ω với capp (B, Ω) < ε sao cho hạn chế của hàm u trên tập
Ω \ B là liên tục. Ta biết rằng mỗi hàm trên W 1,p (Ω) có một biểu diễn là hàm

12

liên tục capacity, ngoại trừ một tập con của Ω có p-capacity bằng 0. Khi ta khảo
sát giá trị từng điểm của hàm u ∈ W 1,p (Ω), với mọi tập con B của Ω ta có


p

|∇v| dx : v ∈ W

capp (B, Ω) = inf

1,p


(Ω) ,



trong đó v = 1 trên B và v ≥ 0 trên Ω.

Định nghĩa 1.3.2 ([7]). Ta nói rằng phần bù Rn \Ω là thỏa điều kiện p−capacity
uniform thickness ứng với các hằng số r0 , c0 > 0 nếu tồn tại hằng số c0 , r0 > 0
sao cho với mọi 0 < t ≤ r0 và mọi x ∈ Rn \ Ω:

capp (Bt (x) ∩ Rn \ Ω, B2t (x)) ≥ c0 capp (Bt (x), B2t (x)).

(1.6)

Chú ý rằng miền thỏa mãn điều kiện này bao gồm miền có biên Lipschitz
hoặc thậm chí là miền thỏa điều kiện “uniform exterior corkscrew”, nghĩa là tồn
tại hằng số c0 , r0 > 0 sao cho với mọi 0 < t ≤ r0 và mọi x ∈ Rn \ Ω, tồn tại
y ∈ Bt (x) sao cho Bt/c0 (y) ⊂ Rn \ Ω.

1.4

Nghiệm renormalized

Với mỗi số nguyên k > 0, ta định nghĩa toán tử Tk : R → R xác định bởi:

Tk (s) = max{−k, min{k, s}},

s ∈ R.


Tài liệu liên quan
Xemtailieu.com không chịu trách nhiệm liên quan đến các vấn đề bản quyền tài liệu được thành viên tự nguyện đăng tải lên.